Moduli of sheaves and the Chow group of K3 surfaces

Let X be a projective complex K3 surface. Beauville and Voisin singled out a 0-cycle cX on X of degree 1 and Huybrechts proved that the second Chern class of a rigid simple vector-bundle on X is a multiple of cX if certain hypotheses hold. We believe that the following generalization of Huybrechtsʼ result holds. Let M be a moduli space of stable pure sheaves on X with fixed cohomological Chern character: the set whose elements are second Chern classes of sheaves parametrized by the closure of M (in the corresponding moduli spaces of semistable sheaves) depends only on the dimension of M. We will prove that the above statement holds under some additional assumptions on the Chern character.

RésuméSoit X une surface K3 projective. Beauville et Voisin ont introduit un 0-cycle cX, de degré un, sur X, et Huybrechts a démontré que, sous certaines hypothèses, la deuxième classe de Chern dʼun fibré vectoriel simple et rigide est un multiple de cX. On propose la généralisation suivante du résultat de Huybrechts. Soit M lʼespace des modules des fibrés stables et purs ayant un caractère de Chern fixé : lʼensemble des deuxièmes classes de Chern des faisceaux paramétrizés par la clôture de M (dans le correspondent espace des modules des faisceaux semistables) dépend seulement de la dimension de M. On démontre ce résultat sous des hypothèses supplémentaires sur le caractère der Chern.