The Index theorem for quasi-tori

The Index theorem for holomorphic line bundles on complex tori asserts that some cohomology groups of a line bundle vanish according to the signature of the associated hermitian form. In this article, this theorem is generalized to quasi-tori, i.e. connected complex abelian Lie groups which are not necessarily compact. In view of the Remmert–Morimoto decomposition of quasi-tori as well as the Künneth formula, it suffices to consider only Cousin-quasi-tori, i.e. quasi-tori which have no non-constant holomorphic functions. The Index theorem is generalized to holomorphic line bundles, both linearizable and non-linearizable, on Cousin-quasi-tori using L2-methods coupled with the Kazama–Dolbeault isomorphism and Bochner–Kodaira formulas.

RésuméLe théorème de lʼindice pour les fibrés en droites holomorphes sur les tores complexes indique que certains groupes de cohomologie dʼun fibré en droites sʼannulent en fonction de la signature de la forme hermitienne associée. Dans cet article, ce théorème est généralisé aux quasi-tores, i.e. aux groupes de Lie abéliens complexes connexes qui sont nécessairement compacts. Étant donné la décomposition de Remmert–Morimoto des quasi-tores ainsi que la formule de Künneth, il suffit de considérer les quasi-tores de Cousin, i.e. les quasi-tores qui nʼont aucune fonction holomorphe non constante. Le théorème de lʼindice est généralisé aux fibrés en droites holomorphes, linéarisables ou non linéarisables, sur les quasi-tores de Cousin en utilisant des méthodes L2 associées à lʼisomorphisme de Kazama–Dolbeault et aux formules de Bochner–Kodaira.