Finite-time blow-up in the higher-dimensional parabolic–parabolic Keller–Segel system

We study the Neumann initial–boundary value problem for the fully parabolic Keller–Segel system{ut=Δu−∇⋅(u∇v),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0, where Ω   is a ball in RnRn with n⩾3n⩾3.It is proved that for any prescribed m>0m>0 there exist radially symmetric positive initial data (u0,v0)∈C0(Ω¯)×W1,∞(Ω) with ∫Ωu0=m∫Ωu0=m such that the corresponding solution blows up in finite time. Moreover, by providing an essentially explicit blow-up criterion it is shown that within the space of all radial functions, the set of such blow-up enforcing initial data indeed is large in an appropriate sense; in particular, this set is dense with respect to the topology of Lp(Ω)×W1,2(Ω)Lp(Ω)×W1,2(Ω) for any p∈(1,2nn+2).

RésuméOn considere le système de Keller–Segel parabolique–parabolique{ut=Δu−∇⋅(u∇v),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+u,x∈Ω,t>0, avec des conditions de Neumann, où Ω   est une boule de RnRn et n⩾3n⩾3.Pour tout m>0m>0 il établit lʼéxistence des données initiales positives à symétrie radiale (u0,v0)∈C0(Ω¯)×W1,∞(Ω) avec ∫Ωu0=m∫Ωu0=m qui produisent lʼexplosion en temps fini. De plus il est démontré avec un critère dʼexplosion assez explicite que lʼensemble des données initiales qui produisent lʼexplosion en temps fini est grand dans lʼespace des fonctions à symétrie radiale ; en particulier cet ensemble est dense pour la topologie de Lp(Ω)×W1,2(Ω)Lp(Ω)×W1,2(Ω) pour tout p∈(1,2nn+2).