Cell polarisation model: The 1D case

We study the dynamics of a one-dimensional non-linear and non-local drift-diffusion equation set in the half-line, with the coupling involving the trace value on the boundary. The initial mass M of the density determines the behaviour of the equation: attraction to self-similar profile, to a steady state of finite time, blow-up for supercritical mass. Using the logarithmic Sobolev and the HWI inequalities we obtain a rate of convergence for the sub-critical and critical mass cases. Moreover, we prove a comparison principle on the equation obtained after space integration. This concentration-comparison principle allows proving blow-up of solutions for large initial data without any monotonicity assumption on the initial data.

RésuméOn étudie la dynamique dʼune équation de convection-diffusion non linéaire et non locale posée sur la demi-droite, avec un couplage impliquant la valeur en zéro. La masse initiale détermine la dynamique de lʼéquation : attraction vers un profil autosimilaire ou un équilibre et explosion en temps fini pour des masses surcritiques. En utilisant les inégalités de Sobolev logarithmique et HWI, on obtient un taux de convergence dans les cas sous critiques et critiques. De plus, on établit un principe de comparaison sur lʼéquation obtenue après intégration en espace. Ce principe de concentration-comparaison permet de montrer lʼexplosion des solutions pour des données intiales de masse suffisamment grande sans hypothèse de monotonie sur celles-ci qui étaient nécessaires dans les travaux précédents.