Symmetry results for overdetermined problems on convex domains via Brunn–Minkowski inequalities

We consider some well-posed Dirichlet problems for elliptic equations set on the interior or the exterior of a convex domain (examples include the torsional rigidity, the first Dirichlet eigenvalue, and the electrostatic capacity), and we add an overdetermined Neumann condition which involves the Gauss curvature of the boundary. By using concavity inequalities of Brunn–Minkowski type satisfied by the corresponding variational energies, we prove that the existence of a solution implies the symmetry of the domain. This provides some new characterizations of spheres, in models going from solid mechanics to electrostatics.

RésuméOn considère des problèmes de Dirichlet bien posés pour des équations elliptiques dans lʼintérieur ou à lʼextérieur dʼun ensemble convexe (les exemples incluent la rigidité torsionnelle, la première valeur propre du laplacien, et la capacité electrostatique), auxquels on ajoute une condition surdeterminée de Neumann qui fait intervenir la courbure gaussienne du bord. En utilisant des inégalités de concavité de type Brunn–Minkowski satisfaites par les énergies variationnelles correspondantes, on démontre que lʼexistence dʼune solution entraine la symétrie du domaine. Cela donne de nouvelles caractérisations des sphères, dans des modèles qui vont de la mécanique des solides à lʼélectrostatique.