Layer potential techniques for the narrow escape problem

The narrow escape problem consists in deriving the asymptotic expansion of the solution of a drift-diffusion equation with the Dirichlet boundary condition on a small absorbing part of the boundary and the Neumann boundary condition on the remaining reflecting boundaries. Using layer potential techniques, we rigorously find high-order asymptotic expansions of such solutions. The asymptotic formula explicitly exhibits the nonlinear interaction of many small absorbing targets. Based on the asymptotic theory for eigenvalue problems developed in Ammari et al. (2009) [3], we also construct high-order asymptotic formulas for the perturbation of eigenvalues of the Laplace and the drifted Laplace operators for mixed boundary conditions on large and small pieces of the boundary.

RésuméDans le problème « dʼéchappée belle », il sʼagit de calculer le temps moyen que met une particule brownienne dans un milieu confiné pour atteindre une petite ouverture et sʼéchapper. La petite ouverture est modélisée par une condition aux limites de Dirichlet alors que sur le reste du bord du milieu, une condition de Neumann est imposée. Dans cet article, à lʼaide de la théorie asymptotique décrite dans Ammari et al. (2009) [3], on établit une asymptotique du temps de parcours moyen par rapport à la taille de lʼouverture qui est dʼordre élevé.