Wronskians and deep zeros of holomorphic functions

Given linearly independent holomorphic functions f0,…,fn on a planar domain Ω, let E be the set of those points z∈Ω where a nontrivial linear combination may have a zero of multiplicity greater than n, once the coefficients λj=λj(z) are chosen appropriately. An elementary argument involving the Wronskian W of the fjʼs shows that E is a discrete subset of Ω (and is actually the zero set of W); thus “deep” zeros are rare. We elaborate on this by studying similar phenomena in various function spaces on the unit disk, with more sophisticated boundary smallness conditions playing the role of deep zeros.

RésuméEtant données des fonctions holomorphes f0,…,fn linéairement indépendantes sur un domaine Ω du plan, soit E lʼensemble des points z∈Ω où une combinaison linéaire non triviale peut avoir un zéro dʼordre supérieur à n. Un argument élémentaire utilisant le wronskien des fj montre que E est un sous-ensemble discret de Ω ; ainsi, les zéros « profonds » sont rares. On étudie des phénomènes similaires dans divers espaces de fonctions sur le disque unité, avec des conditions plus sophistiquées de décroissance au bord à la place de zéros profonds intérieurs.