Maximal L2 regularity for Dirichlet problems in Hilbert spaces

We consider the Dirichlet problem λU−LU=F in O, U=0 on ∂O. Here F∈L2(O,μ) where μ is a nondegenerate centered Gaussian measure in a Hilbert space X, L is an Ornstein–Uhlenbeck operator, and O is an open set in X with good boundary. We address the problem whether the weak solution U belongs to the Sobolev space W2,2(O,μ). It is well known that the question has positive answer if O=X; if O≠X we give a sufficient condition in terms of geometric properties of the boundary ∂O.

RésuméOn considère le problème de Dirichlet λU−LU=F dans O, U=0 dans ∂O. Ici F appartient à L2(O,μ) où μ est une mesure gaussienne non dégénerée et centrée dans un espace de Hilbert H, L est un opérateur de Ornstein–Uhlenbeck et O un sous-ensemble ouvert dans X avec une frontière regulière. On se pose le problème de savoir si la solution faible U appartient à lʼespace de Sobolev W2,2(O,μ). Il est bien connu que cette question admet une reponse positive lorsque O=X ; si O≠X on donne une condition suffisante liée à des proprietés geométriques de la frontière ∂O.