Frequency of Sobolev and quasiconformal dimension distortion

We study Hausdorff and Minkowski dimension distortion for images of generic affine subspaces of Euclidean space under Sobolev and quasiconformal maps. For a supercritical Sobolev map f defined on a domain in Rn, we estimate from above the Hausdorff dimension of the set of affine subspaces parallel to a fixed m-dimensional linear subspace, whose image under f has positive Hα measure for some fixed α>m. As a consequence, we obtain new dimension distortion and absolute continuity statements valid for almost every affine subspace. Our results hold for mappings taking values in arbitrary metric spaces, yet are new even for quasiconformal maps of the plane. We illustrate our results with numerous examples.

RésuméOn étudie la distorsion de la dimension de Hausdorff et de la dimension de Minkowski pour les images de sous-espaces affines génériques de lʼespace euclidien par des applications de Sobolev et des applications quasiconformes. Pour une application de Sobolev supercritique f définie sur un domaine de Rn, on estime par en dessus la dimension de Hausdorff de lʼensemble des sous-espaces affines parallèles à un sous-espace linéaire fixé de dimension m, dont lʼimage par f a une measure de Hausdorff Hα positive pour α>m fixé. Comme conséquence, on obtient de nouveaux énoncés pour la distorsion de dimension et pour la continuité absolue valables pour presque tous les sous-espaces affines. Nos résultats sont valables pour des applications à valeurs dans des espaces métriques arbitraires, mais ils sont nouveaux, même pour les applications quasiconformes dans le plan. On illustre nos résultats par de nombreux exemples.