Sharp regularity for general Poisson equations with borderline sources

This article concerns optimal estimates for nonhomogeneous degenerate elliptic equation with source functions in borderline spaces of integrability. We deliver sharp Hölder continuity estimates for solutions to p-degenerate elliptic equations in rough media with sources in the weak Lebesgue space . For the borderline case, , solutions may not be bounded; nevertheless we show that solutions have bounded mean oscillation, in particular John–Nirenbergʼs exponential integrability estimates can be employed. All the results presented in this paper are optimal. Our approach is inspired by a powerful Caffarelli-type compactness method and it can be employed in a number of other situations.

RésuméDans cet article on établit des estimations optimales pour les solutions dʼéquations elliptiques non homogènes dégénérées lorsque les sources sont prises dans les espaces limites dʼintégrabilité. On donne des estimations optimales de continuité höldérienne des solutions pour des équations elliptiques p-dégénérées dans des milieux grossiers lorsque les sources sont choisies dans des espaces de Lebesgue faibles, . Pour le cas limite, , les solutions ne sont pas nécessairement bornées, on peut néanmoins montrer que les solutions ont des oscillations bornées en moyenne ; en particulier on peut utiliser les estimations exponentielles dʼintégrabilité de John–Nirenberg. Tous les résultats obtenus ici sont optimaux. Notre approche utilise un outil assez puissant de type compacité de Caffarelli, outil qui pourrait être utilisé dans dʼautres nombreux cas.