On the Cauchy problem for the Schrödinger equation with superoscillatory initial data

Superoscillatory functions were introduced in Aharonov and Vaidman (1990) [5], , and recently studied in detail in Aharonov et al. (2011) [2], , Berry (1994) [7], and Berry and Popescu (2006) [9]. In this paper we study the time evolution of a superoscillating function, by taking it as initial value for the Cauchy problem for the Schrödinger equation. By using convolution operators on spaces of entire functions with suitable growth conditions, we prove the surprising fact that the superoscillatory phenomenon persists for all values of t.

RésuméLes fonctions superoscillation ont été introduites dans Aharonov et Vaidman (1990) [5], , et ont été récemment étudiées en détail dans Aharonov et al. (2011) [2], , Berry (1994) [7], et Berry et Popescu (2006) [9]. Dans cet article, on étudie lʼévolution temporelle dʼune fonction superoscillante qui est prise pour valeur initiale dʼun le problème de Cauchy pour lʼéquation de Schrödinger. En utilisant des opérateurs de convolution sur les espaces de fonctions entières à croissance rapide, on démontre le fait surprenant que le phénomène de superoscillation persiste pour toutes les valeurs de t.