Stability and multiple solutions to Einstein-scalar field Lichnerowicz equation on manifolds

In this paper, we study the stability and multiple solutions to Einstein-scalar field Lichnerowicz equation on compact Riemannian manifolds. In particular, in dimension no more than 5, we can find a different way (comparing with the previous result of Hebey, Pacard and Pollack) by showing that there are at least two positive solutions or a unique positive solution according to the coercivity property of a quadratic form defined by the minimal solution obtained by the monotone method. When the coercive condition fails, we prove a uniqueness result. A positive solution of the Lichnerowicz equation is also found in a complete non-compact Riemannian manifold.

RésuméDans cet article, on étudie la stabilité et lʼexistence de solutions multiples pour lʼéquation scalaire de Einstein–Lichnerowicz, sur une variété riemannienne compacte. En dimension inférieure ou égale à 5, on propose une méthode différente (en comparaison avec celle de Hebey–Pacard–Pollack) pour démontrer lʼexistence de deux solutions positives, ou dʼune unique solution positive, selon la coercivité dʼune forme quadratique, définie par la solution minimale provenant de lʼitération monotone. Quand la condition de coercivité nʼest pas satisfaite, on démontre un résultat dʼunicité. Lʼexistence dʼune solution positive pour lʼéquation de Lichnerowicz est aussi établie sur une variété riemannienne complète non compacte.