On the null controllability of a 3×3 parabolic system with non-constant coefficients by one or two control forces

This work is concerned with the null controllability of a class of 3×3 linear parabolic systems with non-constant coefficients by a single control force or two control forces localized in space. We extend to this class of systems the Kalman rank condition existing for systems with constant or time-dependent coefficients. To prove the result, we construct a solution to the controllability issue using a suitable decomposition. With this decomposition, we are led to study the null controllability of either a non-homogeneous system of two equations by one control force acting on the whole domain (in the case of one distributed control force for the initial 3×3 system), or a non-homogeneous equation by two forces acting in the whole domain (in the case of two distributed control forces for the 3×3 system).

RésuméCet article traite de la contrôlabilité à zéro, par une ou deux forces de contrôle localisée(s) en espace, dʼune classe de systèmes paraboliques linéaires de trois équations à coefficients non constants. On étend à cette classe de systèmes la condition de Kalman qui existe déjà pour les systèmes à coefficients constants et pour les systèmes à coefficients ne dépendant que du temps. Pour démontrer ce résultat, on utilise une décomposition adaptée des solutions à contrôler. Cette décomposition permet de transformer le problème de contrôlabilité par une force (localisée en espace) en lʼétude de la contrôlabilité à zéro dʼun système parabolique non homogène de deux équations par lʼintermédiaire dʼune seule force de contrôle agissant sur tout le domaine. De même, le problème de contrôlabilité par deux forces localisées en espace se ramène à lʼétude de la contrôlabilité à zéro dʼune équation parabolique non homogène par lʼintermédiaire de deux forces de contrôle agissant sur tout le domaine.