Test ideals of non-principal ideals: Computations, jumping numbers, alterations and division theorems

Given an ideal a⊆Ra⊆R in a (log) QQ-Gorenstein F  -finite ring of characteristic p>0p>0, we study and provide a new perspective on the test ideal τ(R,at)τ(R,at) for a real number t>0t>0. Generalizing a number of known results from the principal case, we show how to effectively compute the test ideal and also describe τ(R,at)τ(R,at) using (regular) alterations with a formula analogous to that of multiplier ideals in characteristic zero. We further prove that the F  -jumping numbers of τ(R,at)τ(R,at) as t varies are rational and have no limit points, including the important case where R is a formal power series ring. Additionally, we obtain a global division theorem for test ideals related to results of Ein and Lazarsfeld from characteristic zero, and also recover a new proof of Skoda's theorem for test ideals which directly mimics the proof for multiplier ideals.

RésuméEtant donné un idéal dans un anneau de caractéristique p, F  -fini, (log) QQ-Gorenstein, on étudie et on propose une nouvelle perspective sur l'idéal test. On généralise plusieurs résultats concernant les idéaux principaux. On donne un procédé de calcul efficace de l'idéal test et une description des idéaux tests à l'aide des altérations (régulières) utilisant une formule analogue à celle des idéaux multiplicateurs de caractéristique zéro. On montre, en outre, que les nombres de F-sauts des idéaux non principaux sont rationnels et n'ont pas de points limites, y compris dans le cas important où l'anneau est un anneau de séries formelles de puissances. De plus, on obtient un théorème global de division des idéaux tests et on récupère une nouvelle démonstration d'un théorème de Skoda pour des idéaux tests, démonstration imitant directement celle utilisée dans le cas des idéaux multiplicateurs.