Concentration for an elliptic equation with singular nonlinearity

We are interested in nontrivial solutions of the equation:−Δu+χ[u>0]u−β=λup,u⩾0inΩ, with u=0u=0 on ∂Ω  , where Ω⊂RNΩ⊂RN, N⩾2N⩾2, is a bounded domain with smooth boundary, 0<β<10<β<1, 1⩽p0λ>0. If p>1p>1 we prove existence of nontrivial solutions for every λ>0λ>0. As λ→+∞λ→+∞ we find that the least energy   solutions concentrate around a point that maximizes the distance to the boundary. We also study the behavior as λ→0λ→0. When p=1p=1 we have similar results, extending previous works for radial solutions in a ball.

RésuméDans cet article on étudie les solutions non triviales de lʼéquation :−Δu+χ[u>0]u−β=λup,u⩾0dansΩ, avec u=0u=0 sur ∂Ω  , où Ω⊂RNΩ⊂RN, N⩾2N⩾2, est un domaine borné de frontière réguliere, 0<β<10<β<1, 1⩽p0λ>0. Si p>1p>1 on démontre lʼexistence de solutions non triviales pour λ>0λ>0. Quand λ→+∞λ→+∞ on obtient les solutions dʼenergie minimale   concentrées autour dʼun point qui maximise la distance à la frontière. On étudie égalment le comportement des solutions lorsque λ→0λ→0. Si p=1p=1 on obtient des résultats similaires qui étendent ainsi les résultats précédents au cas des solutions radiales dans une boule.