Radiative transport limit for the random Schrödinger equation with long-range correlations

In this paper we study the asymptotic phase space energy distribution of solution of the Schrödinger equation with a time-dependent random potential. The random potential is assumed to have slowly decaying correlations. We show that the Wigner transform of a solution of the random Schrödinger equation converges in probability to the solution of a radiative transfer equation. Moreover, we show that this radiative transfer equation with long-range coupling has a regularizing effect on its solutions. Finally, we give an approximation of this equation in term of a fractional Laplacian. The derivations of these results are based on an asymptotic analysis using perturbed-test-functions, martingale techniques, and probabilistic representations.

RésuméCet article présente lʼétude asymptotique de la densité dʼénergie de la solution de lʼéquation de Schrödinger ayant un potentiel aléatoire à décorrélations lentes. On montre que la transformée de Wigner de la solution de lʼéquation de Schrödinger aléatoire converge en probabilité vers la solution dʼune équation de transport radiatif ayant un effet de régularisation instantané. Pour terminer, on propose une approximation de cette équation de transport en terme de Laplacien fractionnaire. Les démonstrations de ces résultats utilisent une analyse asymptotique à partir de la méthode de la fonction test perturbée, des techniques de martingale, ainsi que des représentations probabilistes.