Step-s involutive families of vector fields, their orbits and the Poincaré inequality

We consider a family H:={X1,…,Xm} of vector fields in Rn. Under a suitable s-involutivity assumption on commutators of order at most s, we show a ball-box theorem for Carnot–Carathéodory balls of the family H and we prove the related Poincaré inequality. Each control ball is contained in a suitable Sussmannʼs orbit of which we discuss some regularity properties. Our main tool is a class of almost exponential maps which we discuss carefully under low regularity assumptions on the coefficients of the vector fields in H.

RésuméOn considère une famille H:={X1,…,Xm} de champs de vecteurs dans Rn. Sous une hypothèse convenable de s-involutivité sur les commutateurs dʼordre au plus s, nous démontrons un théorème de bérte-balleg pour les boules de Carnot–Carathéodory de la famille H et on démontre lʼinégalité de Poincaré. Chaque boule est contenue dans lʼorbite de Sussmann, dont on discute quelques propriétés de régularité. Notre outil principal est une classe de cartes quasi exponentielles, sous des hypothèses faibles de régularité sur les coefficients des champs de vecteurs de H.