Concerning the semistability of tensor products in Arakelov geometry

We study the semistability of the tensor product of Hermitian vector bundles by using the ε-tensor product and the geometric (semi)stability of vector subspaces in the tensor product of two vector spaces.Notably, for any number field K   and any Hermitian vector bundles E¯ and F¯ over SpecOK, we show that the maximal slopes of E¯, F¯, and E¯⊗F¯ satisfy the following inequality:μˆmax(E¯⊗F¯)⩽μˆmax(E¯)+μˆmax(F¯)+12min(log(rkE),log(rkF)).We also prove that, for any OKOK-submodule V   of E⊗FE⊗F of rank ⩽4, the slope of V¯ satisfies:μˆ(V¯)⩽μˆmax(E¯)+μˆmax(F¯). This shows that, if E¯ and F¯ are semistable and if rkE.rkF⩽9, then E¯⊗F¯ also is semistable.

RésuméOn étudie la semi-stabilité du produit tensoriel de fibrés vectoriels hermitiens en utilisant le produit ε-tensoriel et la (semi-)stabilité géométrique des sous-espaces vectoriels dans le produit tensoriel de deux espaces vectoriels.En particulier, si K   désigne un corps de nombres et si E¯ et F¯ sont deux fibrés vectoriels hermitiens sur SpecOK, nous montrons que les pentes maximales de E¯, F¯ et E¯⊗F¯ satisfont à lʼinégalité :μˆmax(E¯⊗F¯)⩽μˆmax(E¯)+μˆmax(F¯)+12min(log(rkE),log(rkF)).Nous démontrons aussi que, pour tout sous-OKOK-module V   de E⊗FE⊗F de rang ⩽4, la pente de V¯ vérifie :μˆ(V¯)⩽μˆmax(E¯)+μˆmax(F¯). Cela entraîne que, si rkE.rkF⩽9 et que E¯ et F¯ sont semistables, le produit tensoriel E¯⊗F¯ lʼest aussi.