Derived schemes and the field with one element

The purpose of this paper is to define derived schemes over F1, the “field with one element”. More generally, we define our derived algebraic geometry over a symmetric monoidal category (C,⊗,1) by adapting the constructions of Lurie. We also suggest that the construction of derived schemes over F1 has an analogue in the “homotopy theory of algebraic varieties” over an algebraically closed field k, which we refer to as “derived schemes over T1(k)”. This is motivated by the fact that the S-modules in the category of schemes over k are analogous to Z-modules.

RésuméLe but de cet article est de définir la géométrie algébrique sur F1, « le corps à un élément ». Plus généralement, on définit la géométrie algébrique sur une catégorie monoïdale symétrique en adaptant les définitions de Lurie. On suggère aussi que la construction de schémas dérivés sur F1 a un analogue dans « la théorie homotopique des variétés algébriques » sur un corps algébriquement clos k, quʼon appelle « schémas dérivés sur T1(k) ». Ceci est motivé par le fait que les S-modules dans la catégorie des schémas sur k sont lʼanalogue des Z-modules.