Spectral zeta function of the sub-Laplacian on two step nilmanifolds

We study the heat kernel trace and the spectral zeta function of an intrinsic sub-Laplace operator on a two step compact nilmanifold L∖G. Here G is an arbitrary nilpotent Lie group of step 2 and we assume the existence of a lattice L⊂G. We essentially use the well-known heat kernel expressions of the sub-Laplacian on G due to Beals, Gaveau and Greiner. In contrast to the spectral zeta function of the Laplacian on L∖G which can have infinitely many simple poles it turns out that in case of the sub-Laplacian only one simple pole occurs. Its residue divided by the volume of L∖G is independent of L and can be expressed by the Lie group structure of G. By standard arguments this result is equivalent to a specific asymptotic behaviour of the heat kernel trace of as time tends to zero. As an example we explicitly calculate the spectrum of the sub-Laplacian in case of the six-dimensional free nilpotent Lie group G and a standard lattice L⊂G by using a decomposition of into a family of elliptic operators.

RésuméOn étudie la trace du noyau de la chaleur et de la fonction zéta spectrale dʼun opérateur sous-laplacien intrinsèque sur une nilvariété compacte L∖G ; G est un groupe de Lie nilpotent de classe 2 arbitraire, on suppose quʼil existe un réseau L⊂G. Pour le noyau de la chaleur du sous-laplacien sur G, on utilise lʼexpression donnée par Beals, Gaveau et Greiner. Par contraste avec la fonction zéta spectrale du laplacien sur L∖G, qui a un nombre infini de pôles simples, on montre que, dans ce cas, le sous-laplacien possède un unique pôle simple dont le résidu divisé par le volume de L∖G est indépendant de L et est determiné par la structure de groupe de Lie de G. Utilisant des arguments classiques, ce résultat est équivalent à un comportement asymptotique spécifique de la trace du noyau de la chaleur de au temps zéro. Pour illustrer ce résultat par un exemple, on calcule explicitement le spectre du sous-laplacien dans le cas dʼun groupe de Lie libre 2-nilpotent de dimension 6 dʼun réseau standard L⊂G, en décomposant en une famille dʼopérateurs elliptiques.