Discrete Carleman estimates for elliptic operators and uniform controllability of semi-discretized parabolic equations

We derive a semi-discrete two-dimensional elliptic global Carleman estimate, in which the usual large parameter is connected to the one-dimensional discretization step-size. The discretizations we address are some families of smoothly varying meshes. As a consequence of the Carleman estimate, we derive a partial spectral inequality of the form of that proven by G. Lebeau and L. Robbiano, in the case of a discrete elliptic operator in one dimension. Here, this inequality concerns the lower part of the discrete spectrum. The range of eigenvalues/eigenfunctions we treat is however quasi-optimal and represents a constant portion of the discrete spectrum. For the associated parabolic problem, we then obtain a uniform null controllability result for this lower part of the spectrum. Moreover, with the control function that we construct, the L2-norm of the final state converges to zero super-algebraically as the step-size of the discretization goes to zero. A relaxed observability estimate is then deduced.

RésuméNous démontrons une inégalité de Carleman elliptique globale semidiscrète en deux dimensions d'espace, pour des familles régulières de maillages. Le grand paramètre dans ce type d'inégalités est relié ici au pas de la discrétisation. Une conséquence de cette inégalité de Carleman est l'obtention d'une inégalité spectrale partielle analogue à celle démontrée par G. Lebeau et L. Robbiano, ici dans le cas d'un opérateur elliptique discret en dimension un. Notre inégalité concerne le bas du spectre discret. L'étendue des valeurs/vecteurs propres que nous traitons est quasioptimale et représente une portion constante du spectre discret. Pour le problème parabolique associé, nous obtenons alors la contrôlabilité à zéro de cette partie basse du spectre. De plus, la norme L2 de l'état final correspondant à la fonction de contrôle que nous construisons, converge vers zéro de manière exponentielle quand le pas de discrétisation tend vers zéro. Nous déduisons alors une inégalité d'observabilité relaxée pour le problème adjoint.