Conformal quaternionic contact curvature and the local sphere theorem

A tensor invariant is defined on a quaternionic contact manifold in terms of the curvature and torsion of the Biquard connection involving derivatives up to third order of the contact form. This tensor, called quaternionic contact conformal curvature, is similar to the Weyl conformal curvature in Riemannian geometry and to the Chern–Moser tensor in CR geometry. It is shown that a quaternionic contact manifold is locally quaternionic contact conformal to the standard flat quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group, or equivalently, to the standard 3-Sasakian structure on the sphere iff the quaternionic contact conformal curvature vanishes.

RésuméUn tenseur est défini sur une variété munie d'une structure de contact quaternionienne en utilisant la courbure et la torsion de la connexion de Biquard. Ce tenseur, appelé courbure conforme d'une structure de contact quaternionienne, ne dépend que des dérivées du troisième ordre de la forme contact, il est similaire à la courbure de Weyl dans le cas riemannien, et au tenseur de Chern–Moser dans la géométrie CR. On démontre qu'une structure de contact quaternionienne est localement conforme à la structure de contact quaternionienne plate sur le groupe de Heisenberg, ou encore, à la structure 3-sasakienne sur la sphère quaternionique si et seulement si la courbure conforme de contact quaternionienne est nulle.