Global well-posedness for axisymmetric Boussinesq system with horizontal viscosity

In this paper, we are concerned with the tri-dimensional anisotropic Boussinesq equations which can be described by{(∂t+u⋅∇)u−κΔhu+∇Π=ρe3,(t,x)∈R+×R3,(∂t+u⋅∇)ρ=0,divu=0. Under the assumption that the support of the axisymmetric initial data ρ0(r,z)ρ0(r,z) does not intersect the axis (Oz)(Oz), we prove the global well-posedness for this system with axisymmetric initial data. We first show the growth of the quantity ρr for large time by taking advantage of characteristic of transport equation. This growing property together with the horizontal smoothing effect enables us to establish H1H1-estimate of the velocity via the L2L2-energy estimate of velocity and the Maximum principle of density. Based on this, we further establish the estimate for the quantity ‖ω(t)‖L:=sup2⩽p<∞‖ω(t)‖Lp(R3)p<∞ which implies ‖∇u(t)‖L32:=sup2⩽p<∞‖∇u(t)‖Lp(R3)pp<∞. However, this regularity for the flow admits forbidden singularity since LL (see (1.9) for the definition) seems to be the minimum space for the gradient vector field u(x,t)u(x,t) ensuring uniqueness of flow. To bridge this gap, we exploit the space–time estimate about sup2⩽p<∞∫0t‖∇u(τ)‖Lp(R3)pdτ<∞ by making good use of the horizontal smoothing effect and micro-local techniques. The global well-posedness for the large initial data is achieved by establishing a new type space–time logarithmic inequality.

RésuméDans cet article, on considerè les équations de Boussinesq anisotropiques en trois dimensions, qui sont décrites par le systéme suivant{(∂t+u⋅∇)u−κΔhu+∇Π=ρe3,(t,x)∈R+×R3,(∂t+u⋅∇)ρ=0,divu=0. Pour des données initiales ρ0(r,z)ρ0(r,z) axisymetriques et dont le support ne rencontre pas l'axe (Oz)(Oz), on démontre que le système d'équations ci-dessus est globalement bien posé. On s'interesse d'abord á la croissance en temps de la quantité ρr, en tenant compte des caractéristiques de l'équation de transport. Cette propriété de croissance, et l'effet régularisant en la variable horizontale, nous permet d'etablir une estimation de type H1H1 pour la vitesse, via une estimation de son énergie L2L2 et le principe du maximum pour la densité. Utilisant ces propriétés, on démontre ensuite une estimation pour la quantité ‖ω(t)‖L:=sup2⩽p<∞‖ω(t)‖Lp(R3)p<∞ qui implique ‖∇u(t)‖L32:=sup2⩽p<∞‖∇u(t)‖Lp(R3)pp<∞. Néanmoins cette régularité pour le flot admet une singularité, car LL (voir (1.9) pour la définition) semble eˆtre l'espace minimal pour le champ de vecteurs gradient u(x,t)u(x,t), qui puisse assurer l'unicité du flot. Pour résoudre ce problème, on utilise l'estimation temps-espace de sup2⩽p<∞∫0t‖∇u(τ)‖Lp(R3)pdτ<∞ en se servant de manière opportune de l'effet régularisant en la variable horizontale et des techniques issues de l'analyse microlocale. Enfin, le caractére globalement bien posé pour des données grandes est obtenu en établissant une nouvelle inégalité de type logarithmique en temps-espace.