On a Bonnesen type inequality involving the spherical deviation

Dans cet article, on étudie la stabilité de déviation par rapport à une sphère en fonction du déficit isopérimétrique pour des ensembles de périmètre fini satisfaisant une propriété de régularité légère, donnant une extension pour les ensembles non convexes du résultat classique de type Bonnesen démontré par Fuglede pour les domaines presque sphériques. En particulier, on montre que si un ensemble de périmètre fini E satisfait une condition de cône intérieur avec des angles suffisamment grands (cf. la définition 2.1), on aλH(E)⩽Φ(D(E)), où λH(E) est la déviation da la forme sphérique par rapport à la distance de Hausdorff, D(E) désigne le déficit isopérimétrique et Φ est une fonction explicite continue qui tend vers zéro et dépend de la dimension.