Propagation phenomena for time heterogeneous KPP reaction–diffusion equations

We investigate in this paper propagation phenomena for the heterogeneous reaction–diffusion equation∂tu−Δu=f(t,u),x∈RN,t∈R, where f=f(t,u)f=f(t,u) is a KPP monostable nonlinearity which depends in a general way on t∈Rt∈R. A typical f   which satisfies our hypotheses is f(t,u)=μ(t)u(1−u)f(t,u)=μ(t)u(1−u), with μ∈L∞(R)μ∈L∞(R) such that essinft∈Rμ(t)>0. We first prove the existence of generalized transition waves (recently defined in Berestycki and Hamel (2007) [4]) for a given class of speeds. As an application of this result, we obtain the existence of random transition waves when f   is a random stationary ergodic function with respect to t∈Rt∈R. Lastly, we prove some spreading properties for the solution of the Cauchy problem.

RésuméCet article est dédié à lʼétude de phénomènes de propagation pour lʼéquation de réaction–diffusion hétérogène∂tu−Δu=f(t,u),x∈RN,t∈R, où f=f(t,u)f=f(t,u) est une non-linéarité monostable de type KPP avec une dépendence générale en t∈Rt∈R. Un exemple typique de non-linéarité satisfaisant nos hypothèses est f(t,u)=μ(t)u(1−u)f(t,u)=μ(t)u(1−u), avec μ∈L∞(R)μ∈L∞(R) tel que essinft∈Rμ(t)>0. On montre tout dʼabord lʼexistence de fronts de transition généralisés (définis récemment dans Berestycki et Hamel (2007) [4]) pour une classe de vitesses donnée. On obtient comme corollaire de ce résultat lʼexistence de fronts de transition aléatoires dans le cas où f   est une fonction aléatoire stationnaire et ergodique en t∈Rt∈R. Enfin, on démontre des propriétés dʼexpansion pour les solutions du problème de Cauchy associé à lʼéquation.