The De Giorgi measure and an obstacle problem related to minimal surfaces in metric spaces

We study the existence of a set with minimal perimeter that separates two disjoint sets in a metric measure space equipped with a doubling measure and supporting a Poincaré inequality. A measure constructed by De Giorgi is used to state a relaxed problem, whose solution coincides with the solution to the original problem for measure theoretically thick sets. Moreover, we study properties of the De Giorgi measure on metric measure spaces and show that it is comparable to the Hausdorff measure of codimension one. We also explore the relationship between the De Giorgi measure and the variational capacity of order one. The theory of functions of bounded variation on metric spaces is used extensively in the arguments.

RésuméNous étudions l'existence d'un ensemble de périmètre minimal séparant deux ensembles disjoints dans un espace métrique avec mesure de doublement où une inégalité de Poincaré est satisfaite. Une mesure construite par De Giorgi est utilisée pour formuler ce problème avec des conditions moins restrictives, dont les solutions coïncident avec les solutions du problème original posè pour des ensembles épais au sens de la mesure. Les propriétés de la mesure de De Giorgi dans un espace métrique sont aussi étudiées. Il est demontré que cette mesure est comparable à la mesure de Hausdorff de codimension un. Nous explorons aussi la relation entre la mesure de De Giorgi et la capacité de variation d'ordre un. La théorie des fonctions à variation bornée est largement utilisée au cours des arguments presentés.