Tower of bubbles for almost critical problems in general domains

In this paper, we prove that the Brezis–Nirenberg problem with slightly supercritical non-linearity,Δu+λεN−4N−2u+uN+2N−2+ε=0inΩ,u>0inΩ,u=0on∂Ω, where Ω   is any bounded smooth domain in RNRN, N⩾5N⩾5, and λ   is a positive number, has two solutions with the shape of a tower of bubbles, for all ε>0ε>0 sufficiently small.We also prove that the slightly subcritical problem:Δu+|u|4N−2−εu=0inΩ,u=0on∂Ω, where Ω   is any bounded smooth domain in RNRN, N⩾3N⩾3, has a solution with the shape of a tower of sign changing bubbles, for all ε>0ε>0 sufficiently small.

RésuméDans cet article nous démontrons que le problème de Brezis–Nirenberg avec une non-linéarité légèrement surcritique,Δu+λεN−4N−2u+uN+2N−2+ε=0dansΩ,u>0dansΩ,u=0sur∂Ω, où Ω   est un domaine borné régulier de RNRN, N⩾5N⩾5, λ   réel positif, a deux solutions sous forme d'une tour de bulles lorsque ε→0+ε→0+.Nous démontrons également que dans le cas d'une non-linéarité faillement souscritique,Δu+|u|4N−2−εu=0dansΩ,u=0sur∂Ω, où Ω   est un domaine borné, régulier, de RNRN, N⩾3N⩾3, le problème a une solution qui change de signe et qui est aussi sous forme de tour de bulles lorsque ε→0+ε→0+.