On global attraction to solitary waves for the Klein–Gordon field coupled to several nonlinear oscillators

The global attraction is established for the U(1)-invariant Klein–Gordon equation in one dimension coupled to a finite number of nonlinear oscillators. Each finite energy solution is shown to converge as t→±∞ to the set of all solitary waves which are the “nonlinear eigenfunctions” of the form ϕ(x)e−iωt, under the conditions that all oscillators are strictly nonlinear and polynomial and the distances between neighboring oscillators are small.Our approach is based on the spectral analysis of omega-limit trajectories. We apply the Titchmarsh Convolution Theorem to prove that the time spectrum of each omega-limit trajectory consists of one point. Physically, the convergence to solitary waves is caused by the nonlinear energy transfer from lower harmonics to the continuous spectrum and subsequent dispersive radiation. The Titchmarsh Theorem implies that such a radiation is absent only for the solitary waves.To demonstrate the sharpness of our conditions, we construct counterexamples showing that the global attractor can contain “multifrequency solitary waves” if the distance between oscillators is large or if some oscillators are linear.

RésuméOn établit l'attraction globale pour l'équation de Klein–Gordon U(1)-invariante monodimensionnelle couplée à un nombre fini d'oscillateurs non linéaires. On démontre que chaque solution d'énergie finie converge vers un ensemble de toutes ondes solitaires des « fonctions propres non linéaires » de la forme ϕ(x)e−iωt, sous la condition que tous les oscillateurs soient polynomiaux strictement non linéaires et que les distances entre les oscillateurs voisins soient suffisament petites.Notre approche utilise l'analyse spectrale des trajectoires omega-limite. Nous utilisons le théorème de convolution de Titchmarsh pour reduire le spectre temporel de chaque trajectoire omega-limite à un seul point. D'un point de vue physique, la raison de cette attraction globale est le transfert non linéaire d'énergie des modes inférieurs vers les modes supérieurs, suivie par la radiation dispersive. Le théorème de Titchmarsh implique l'absence de transfert et de radiation exclusivement pour les ondes solitaires.Pour démontrer l'optimalité de nos conditions, nous construisons des contre-exemples montrant que l'attracteur global peut contenir des « ondes solitaires multi-frequences » si la distance entre les oscillateurs est grande ou si certains oscillateurs sont linéaires.