A new approach to the fundamental theorem of surface theory, by means of the Darboux–Vallée–Fortuné compatibility relation

Let ω be a simply-connected open subset of R2. Given two smooth enough fields of positive definite symmetric, and symmetric, matrices defined over ω, the fundamental theorem of surface theory asserts that, if these fields satisfy the Gauss and Codazzi–Mainardi relations in ω, then there exists an immersion θ from ω into R3 such that these fields are the first and second fundamental forms of the surface θ(ω).We revisit here this classical result by establishing that a new compatibility relation, shown to be necessary by C. Vallée and D. Fortuné in 1996 through the introduction, following an idea of G. Darboux, of a rotation field on a surface, is also sufficient for the existence of such an immersion θ.This approach also constitutes a first step toward the analysis of models for nonlinear elastic shells where the rotation field along the middle surface is considered as one of the primary unknowns.

RésuméSoit ω un ouvert simplement connexe de R2. Etant donné deux champs suffisamment réguliers définis dans ω, l'un de matrices symétriques définies positives et l'autre de matrices symétriques, le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme que, si ces deux champs satisfont les relations de Gauss et Codazzi–Mainardi dans ω, alors il existe une immersion θ de ω dans R3 telle que ces champs soient les première et deuxième formes fondamentales de la surface θ(ω).On donne ici une autre approche de ce résultat classique, en montrant qu'une nouvelle relation de compatibilité, dont C. Vallée et D. Fortuné ont montré en 1996 la nécessité en suivant une idée de G. Darboux, est également suffisante pour l'existence d'une telle immersion θ.Cette approche constitue également un premier pas vers l'analyse de modèles de coques non linéairement élastiques où le champ de rotations le long de la surface moyenne est pris comme l'une des inconnues principales.