Extra cancellation of even Calderón–Zygmund operators and quasiconformal mappings

In this paper we discuss a special class of Beltrami coefficients whose associated quasiconformal mapping is bilipschitz. A particular example are those of the form f(z)χΩ(z), where Ω is a bounded domain with boundary of class C1+ε and f a function in Lip(ε,Ω) satisfying ‖f‖∞<1. An important point is that there is no restriction whatsoever on the Lip(ε,Ω) norm of f besides the requirement on Beltrami coefficients that the supremum norm be less than 1. The crucial fact in the proof is the extra cancellation enjoyed by even homogeneous Calderón–Zygmund kernels, namely that they have zero integral on half the unit ball. This property is expressed in a particularly suggestive way and is shown to have far reaching consequences.An application to a Lipschitz regularity result for solutions of second order elliptic equations in divergence form in the plane is presented.

RésuméDans cet article nous étudions une classe particulière de coefficients de Beltrami dont la transformation quasiconforme associée est bilipschlitzienne. Un cas particulier correspond à des données de la forme f(z)χΩ(z), où Ω est un domaine borné de classe C1+ε et f une fonction de Lip(ε,Ω) vérifiant ‖f‖∞<1. Un point essentiel est qu'il n'y a aucune restriction sur la norme Lip(ε,Ω) de f en dehors de la condition portant sur les coefficients de Beltrami dont la norme infinie doit être inférieure strictement à 1. Dans la démonstration, le fait fondamental est l'annulation des noyaux de Calderón–Zygmund homogènes d'ordre pair ; plus précisément, ils sont d'intégrales nulles sur une demi-boule unité. Cette propriété est formulée d'un façon particulièrement suggestive et s'avère avoir d'importantes conséquences.On présente une application à un résultat de régularité lipschitzien des solutions des elliptiques du second ordre écrites sous forme de divergence.