Optimal transportation for a quadratic cost with convex constraints and applications

We prove existence of an optimal transport map in the Monge–Kantorovich problem associated to a cost c(x,y) which is not finite everywhere, but coincides with |x−y|2 if the displacement y−x belongs to a given convex set C and it is +∞ otherwise. The result is proven for C satisfying some technical assumptions allowing any convex body in R2 and any convex polyhedron in Rd, d>2. The tools are inspired by the recent Champion–DePascale–Juutinen technique. Their idea, based on density points and avoiding disintegrations and dual formulations, allowed to deal with L∞ problems and, later on, with the Monge problem for arbitrary norms.

RésuméDans cet article on démontre lʼexistence dʼun transport optimal pour le problème de Monge–Kantorovich associé à un coût c(x,y) qui nʼest pas fini partout, mais coïncide avec |x−y|2 si le déplacement y−x appartient à un corps convex C et est +∞ sinon. Le résultat est démontré sous la condition que C satisfasse des hypothèses techniques qui sont vérifiées par tout convex de R2 et par tout polyhèdre de Rd, d>2. Les outils sʼinspirent à une technique récente due à Champion–DePascale–Juutinen. Leur idée, qui est basée sur des points de densité et qui nʼutilise pas de désintegrations et de formulations duales, a déjà permis de traiter des problèmes L∞ et, plus tard, le problème de Monge pour des normes arbitraires.