Global attractors for gradient flows in metric spaces

We develop the long-time analysis for gradient flow equations in metric spaces. In particular, we consider two notions of solutions for metric gradient flows, namely energy and generalized solutions. While the former concept coincides with the notion of curves of maximal slope of Ambrosio et al. (2005) [5], we introduce the latter to include limits of time-incremental approximations constructed via the Minimizing Movements approach (De Giorgi, 1993; Ambrosio, 1995 [3,15]).For both notions of solutions we prove the existence of the global attractor. Since the evolutionary problems we consider may lack uniqueness, we rely on the theory of generalized semiflows introduced in Ball (1997) [7].The notions of generalized and energy solutions are quite flexible, and can be used to address gradient flows in a variety of contexts, ranging from Banach spaces, to Wasserstein spaces of probability measures. We present applications of our abstract results, by proving the existence of the global attractor for the energy solutions, both of abstract doubly nonlinear evolution equations in reflexive Banach spaces, and of a class of evolution equations in Wasserstein spaces, as well as for the generalized solutions of some phase-change evolutions driven by mean curvature.

RésuméOn développe une analyse des équations de flux de gradients, pour des temps longs, dans des espaces métriques. En particulier, on considère deux notions de solutions pour les flux de gradients métriques : les solutions d'énergie et les solutions généralisées. Alors que le premier concept coïncide avec la notion de courbes de descente maximale comme dans Ambrosio et al. (2005) [5], , on introduit le second concept afin de comprendre les limites des approximations aux temps incrémentaux, construites avec l'approche de mouvements minimisants (De Giorgi, 1993 ; Ambrosio, 1995 [3,15]). Pour chaque notion de solution, on démontre l'existence d'un attracteur global. Comme les problèmes d'évolution considérés peuvent ne pas avoir de solution unique, on utilise la théorie des semi-flux généralisés introduite dans Ball (1997) [7]. Les notions de solution d'énergie et de solution généralisée sont assez souples, et peuvent être employées pour analyser les flux de gradients dans une grande variété de contextes allant des espaces de Banach jusqu'aux espaces de mesures de probabilité de Wasserstein. On présente des applications de nos résultats abstraits en démontrant l'existence d'attracteur global des solutions d'énergie pour des équations d'évolution abstraites doublement non linéaires dans des espaces de Banach réflexifs, et pour une classe d'équations d'évolution dans des espaces de Wasserstein, ainsi que pour les solutions généralisées de quelques problèmes d'évolution de changement de phases, contrôlés par la courbure moyenne.