Riesz bases and Jordan form of the translation operator in semi-infinite periodic waveguides

We study the propagation of time-harmonic acoustic or transverse magnetic (TM) polarized electromagnetic waves in a periodic waveguide lying in the half-strip (0,∞)×(0,L). It is shown that there exists a Riesz basis of the space of solutions to the time-harmonic wave equation such that the translation operator shifting a function by one periodicity length to the left is represented by an infinite Jordan matrix which contains at most a finite number of Jordan blocks of size >1. Moreover, the Dirichlet-, Neumann- and mixed traces of this Riesz basis on the left boundary also form a Riesz basis. Both the cases of frequencies in a band gap and frequencies in the spectrum and a variety of boundary conditions on the top and bottom are considered.

RésuméOn étudie la propagation des ondes acoustiques ou électromagnétiques polarisées magnétiques transverses (TM), harmoniques en temps, dans un guide dʼonde périodique sʼétendant sur une demi-bande (0,∞)×(0,L). On démontre quʼil existe une base de Riesz de lʼespace des solutions de lʼéquation des ondes harmoniques en temps telle que lʼopérateur de translation translatant une fonction dʼune période vers la gauche est représenté par une matrice de Jordan infinie contenant au plus un nombre fini de blocs de Jordan de taille >1. De plus, les traces de cette base de Riesz sur la frontière gauche du guide dʼonde prises au sens de Dirichlet, Neumann ou mixte, forment aussi une base de Riesz. Les cas de fréquences se situant dans la lacune et dans le spectre du guide dʼonde sont considérées de même qui différentes conditions au bord sur les frontières supérieure et inférieure du guide.