The dynamics of holomorphic germs tangent to the identity near a smooth curve of fixed points

Let f∈End(C2,O) be tangent to the identity and with order ν(f)⩾2. We study the dynamics of f near the set of his fixed points. Using some known results in this domain, we prove that if the set of fixed points of f is smooth at the origin, f is tangential to this set, and the origin is not singular, then there are no parabolic curves for f at the origin. After that, we use some adapted techniques to prove the existence of (ν(f)−1) parabolic curves for f at the origin if the set of fixed points of f is smooth at the origin and this last one is a singular point of f with the pure order of f ν0(f)=1. Finally, we prove that if the origin is dicritical, then there exist infinitely many parabolic curves.

RésuméSoit f une application de End(C2,O) d'ordre ν(f)⩾2 et tangente à l'identité. On étudie la dynamique de f près de son ensemble des points fixes. En utilisant des résultats connus dans ce domaine, on montre que si l'ensemble des points fixes de f, lisse à l'origine, f tangentielle à cet ensemble et l'origine n'est pas un point singulier, alors il n'existe pas de courbes paraboliques à l'origine pour f. Par contre, si l'origine est un point singulier de f et l'ordre pure de f égale à 1 (i.e. ν0(f)=1), à l'aide des techniques adaptées, nous démontrons qu'il existe (ν(f)−1) courbes paraboliques pour f à l'origine. Finalement, si l'origine est “dicritique”, on montre que f admet une infinité de courbes paraboliques à l'origine.