Asymptotic models for internal waves

Derived here in a systematic way, and for a large class of scaling regimes are asymptotic models for the propagation of internal waves at the interface between two layers of immiscible fluids of different densities, under the rigid lid assumption and with a flat bottom. The full (Euler) model for this situation is reduced to a system of evolution equations posed spatially on Rd, d=1,2, which involve two nonlocal operators. The different asymptotic models are obtained by expanding the nonlocal operators with respect to suitable small parameters that depend variously on the amplitude, wave-lengths and depth ratio of the two layers. We rigorously derive classical models and also some model systems that appear to be new. Furthermore, the consistency of these asymptotic systems with the full Euler equations is established.

RésuméNous établissons ici de manière systématique, et pour une grande classe de régimes, des modèles asymptotiques pour la propagation d'ondes internes à l'interface de deux couches de fluides non miscibles de densités différentes, sous l'hypothèse de toit rigide et de fond plat. Les équations complètes pour cette situation (Euler) sont réduites à un système d'équations d'évolution posé dans le domaine spatial Rd, d=1,2, et qui comprend deux opérateurs non locaux. Les divers modèles asymptotiques sont obtenus en développant les opérateurs non locaux par rapport à des petits paramètres convenables (dépendant de l'amplitude, de la longueur d'onde et du rapport de hauteur des deux couches). Nous établissons rigoureusement des modèles classiques ainsi que d'autres qui semblent nouveaux. De plus, on montre la consistance de ces systèmes asymptotiques avec les équations d'Euler.