A remark on the definitions of viscosity solutions for the integro-differential equations with Lévy operators

We prove the equivalence of the three different definitions of the viscosity solution for the integro-differential equation with the Lévy operator. The two of the definitions are known in the preceding works of the author and the others, and the last one is new. A construction of a sequence of the approximating test functions to the subsolution (or the supersolution) is indispensable for the proof, and it is done explicitly in the paper.

RésuméNous montrons l'équivalence de trois définitions différentes de la solution de viscosité pour les équations intégro-différentielles pour l'opérateur de Lévy. Deux des trois définitions sont connues dans les travaux précédents, et une est nouvelle. Une construction d'une suite des fonctions test est indispensable à la démonstration, et cela est donnée explicitement dans l'article.