Propagation of L1 and L∞ Maxwellian weighted bounds for derivatives of solutions to the homogeneous elastic Boltzmann equation

We consider the n-dimensional space homogeneous Boltzmann equation for elastic collisions for variable hard potentials with Grad (angular) cutoff. We prove sharp moment inequalities, the propagation of L1-Maxwellian weighted estimates, and consequently, the propagation L∞-Maxwellian weighted estimates to all derivatives of the initial value problem associated to the afore mentioned equation. More specifically, we extend to all derivatives of the initial value problem associated to this class of Boltzmann equations corresponding sharp moment (Povzner) inequalities and time propagation of L1-Maxwellian weighted estimates as originally developed Bobylev [A.V. Bobylev, Moment inequalities for the Boltzmann equation and applications to spatially homogeneous problems, J. Statist. Phys. 88 (1997) 1183–1214] in the case of hard spheres in 3 dimensions. To achieve this goal we implement the program presented in Bobylev–Gamba–Panferov [A.V. Bobylev, I.M. Gamba, V. Panferov, Moment inequalities and high-energy tails for Boltzmann equation with inelastic interactions, J. Statist. Phys. 116 (5–6) (2004) 1651–1682], which includes a full analysis of the moments by means of sharp moment inequalities and the control of L1-exponential bounds, in the case of stationary states for different inelastic Boltzmann related problems with ‘heating’ sources where high energy tail decay rates depend on the inelasticity coefficient and the type of ‘heating’ source. More recently, this work was extended to variable hard potentials with angular cutoff by Gamba–Panferov–Villani [I.M. Gamba, V. Panferov, C. Villani, Upper Maxwellian bounds for the spatially homogeneous Boltzmann equation, ARMA (2008), in press] in the elastic case collision case where the L1-Maxwellian weighted norm was shown to propagate if initial states have such property. In addition, we also extend to all derivatives the propagation of L∞-Maxwellian weighted estimates, proven in [I.M. Gamba, V. Panferov, C. Villani, Upper Maxwellian bounds for the spatially homogeneous Boltzmann equation, ARMA (2008), in press], to solutions of the initial value problem to the Boltzmann equations for elastic collisions for variable hard potentials with Grad (angular) cutoff.

RésuméNous considérons l'équation de Boltzmann homogène en espace, de dimension n en vitesse, avec potentiels raides variables et troncature angulaire de Grad. Nous montrons des estimations fines sur les moments et sur la propagation en temps de normes L1 à poids maxwelliens. Ceci nous permet de déduire la propagation en temps de normes L∞ à poids maxwelliens pour toutes les dérivées de la solution du problème de Cauchy.En particulier, nous étendons à toutes les dérivées les estimations fines de moments (inégalités de Povzner) et les résultats de propagation en temps de normes L1 à poids maxwelliens obtenus précédement par Bobylev [A.V. Bobylev, Moment inequalities for the Boltzmann equation and applications to spatially homogeneous problems, J. Statist. Phys. 88 (1997) 1183–1214] dans le cas des spères rigides en dimension 3. Ce résultat utilise des techniques développées par Bobylev–Gamba–Panferov [A.V. Bobylev, I.M. Gamba, V. Panferov, Moment inequalities and high-energy tails for Boltzmann equation with inelastic interactions, J. Statist. Phys. 116 (5–6) (2004) 1651–1682] pour étudier, dans une classe plus générale de sections angulaires et de contrôle L1 à poids maxwelliens, les états stationnaires de l'équation de Boltzmann avec interactions inélastiques et chauffage. Ceci correspond à des situations où le taux de décroissance des queues d'énergie dépend du coefficient d'inélasticité et du type de chauffage. Nous généralisons aux cas des potentiels raides variables avec troncature angulaire, le résultat de Gamba–Panferov–Villani [I.M. Gamba, V. Panferov, C. Villani, Upper Maxwellian bounds for the spatially homogeneous Boltzmann equation, ARMA (2008), in press] pour les collisions élastiques qui établit la propagation en temps de normes L1 à poids maxwelliens. Enfin, toujours dans le cas élastique, nous généralisons les résultats de propagation de [I.M. Gamba, V. Panferov, C. Villani, Upper Maxwellian bounds for the spatially homogeneous Boltzmann equation, ARMA (2008), in press] à toutes les dérivées avec des normes L∞ à poids maxwelliens.