Trace results on domains with self-similar fractal boundaries

This work deals with trace theorems for a family of ramified bidimensional domains Ω with a self-similar fractal boundary Γ∞. The fractal boundary Γ∞ is supplied with a probability measure μ called the self-similar measure. Emphasis is put on the case when the domain is not a ϵ−δ domain and the fractal is not post-critically finite, for which classical results cannot be used. It is proven that the trace of a function in H1(Ω) belongs to for all real numbers p⩾1. A counterexample shows that the trace of a function in H1(Ω) may not belong to BMO(μ) (and therefore may not belong to ). Finally, it is proven that the traces of the functions in H1(Ω) belong to Hs(Γ∞) for all real numbers s such that 0⩽sdH/4 are supplied.There is an important contrast with the case when Γ∞ is post-critically finite, for which the functions in H1(Ω) have their traces in Hs(Γ∞) for all s such that 0⩽s

RésuméOn donne des théorèmes de traces pour une famille d'ouverts ramifiés Ω de R2 possédant une frontière Γ∞ fractale et autosimilaire. On munit Γ∞ de sa mesure autosimilaire μ. On met l'accent sur le cas où le domaine n'est pas un ϵ−δ domaine et où le fractal n'a pas un ensemble post-critique fini. Dans ce cas, les résultats classiques ne peuvent pas s'appliquer. On montre que la trace d'une fonction de H1(Ω) appartient à pour tout réel p⩾1. On donne un contre-exemple d'une fonction de H1(Ω) dont la trace n'appartient pas à BMO(μ) (et donc pas à ). Finalement, on montre que les fonctions de H1(Ω) ont une trace dans Hs(Γ∞) pour tout réel s tel que 0⩽sdH/4.Il existe donc une différence importante avec le cas où Γ∞ a son ensemble post-critique fini, pour lequel les fonctions de H1(Ω) ont leur trace dans Hs(Γ∞) pour tout s tel que 0⩽s