Non-conjugate braids with the same closure link from density of representations

We use some Lie group theory and the unitarizations of the Burau and Lawrence–Krammer representation, to prove that for generic parameters of definite form the image of these representations (also on certain types of subgroups) is dense in the unitary group. This implies that, except possibly for closures of full-twist braids, all links have infinitely many conjugacy classes of braid representations on any non-minimal number of (and at least 4) strands.

RésuméEn utilisant la théorie des groupes de Lie et des unitarisations de représentations de Burau et Lawrence–Krammer, on montre que pour des paramètres génériques de forme définie l'image de ces représentations (ainsi que pour certains types de sous-groupes) est dense dans le groupe unitaire. Comme conséquence, on obtient qu'à l'exception éventuelle de fermetures des tresses complètement tordues, tous les enlacements ont un nombre infini de classes de conjugaison de représentations de tresses sur un nombre non minimal de brins (au moins 4).