On the best Lipschitz extension problem for a discrete distance and the discrete ∞-Laplacian

This paper concerns the best Lipschitz extension problem for a discrete distance that counts the number of steps. We relate this absolutely minimizing Lipschitz extension with a discrete ∞-Laplacian problem, which arises as the dynamic programming formula for the value function of some ε-tug-of-war games. As in the classical case, we obtain the absolutely minimizing Lipschitz extension of a datum f by taking the limit as p→∞ in a nonlocal p-Laplacian problem.

RésuméDans cet article nous étudions le problème de la meilleure extension Lipschitz pour une distance discrète qui compte le nombre de pas. On rapporte cette extension Lipschitz absolument minimisante avec un problème ∞-laplacien discrèt qui découle de la formule de programmation dynamique pour la fonction valeur de certains ε-jeux de tir à la corde. Comme dans le cas classique nous obtenons lʼextension Lipschitz absolument minimisante dʼune donnée f en prenant la limite quand p→+∞ dans un problème non local du type p-laplacien.