JLip versus Sobolev spaces on a class of self-similar fractal foliages

For a class of self-similar sets Γ∞ in R2, supplied with a probability measure μ called the self-similar measure, we investigate if the regularity of a function can be characterized using the coefficients of its expansion in the Haar wavelet basis. Using the Lipschitz spaces with jumps recently introduced by Jonsson, the question can be rephrased: when does coincide with JLip(s,q,q;0;Γ∞)? When Γ∞ is totally disconnected, this question has been positively answered by Jonsson for all s,q, 00, 1⩽p,q<∞, using possibly higher degree Haar wavelets coefficients). Here, we fully answer the question in the case when 0

RésuméOn considère une classe dʼensembles autosimilaires Γ∞ dans R2, associés à une mesure de probabilité appelée mesure autosimilaire. La question posée est de savoir si la régularité dʼune fonction peut être caractérisée à lʼaide des coefficients de son développement dans la base des ondelettes de Haar. En dʼautres termes, si on utilise les espaces de Lipschitz avec sauts introduits récemment par Jonsson, coïncide-t-il avec JLip(s,q,q;0;Γ∞) ? Si Γ∞ est totalement disconnexe, Jonsson a donné une réponse affirmative à cette question pour tous les couples (s,q) tels que 00, 1⩽p,q<∞, en utilisant si nécessaire des ondelettes de Haar de haut degré). Dans cet article on répond à la question dans le cas où Γ∞ est connexe (avec des auto-intersections) et pour 0