Existence of renormalized weak solutions to the steady equations describing compressible fluids in barotropic regime

We investigate the steady compressible Navier–Stokes system describing compressible fluids in barotropic regime in a bounded three-dimensional domain with slip boundary conditions. Considering a general pressure law of the form p=p(ϱ), where p(ϱ) is increasing at infinity with the rate ϱγ, we show existence of renormalized weak solutions for γ>1. This improves considerably the recent result of Frehse et al. (2012) [9], which requires γ>4/3, and thus allows to treat various multi-atomic gases as well as the relativistic gas where γ=4/3. This result is obtained by using an original bootstrapping argument suggested in Jiang and Zhou (2011) [13] to estimate the density combined with a new potential type estimates up to the boundary obtained via a testing of the momentum equation by a specially constructed test function.

RésuméDans cet article, on étudie le système de Navier–Stokes compressible décrivant le mouvement un fluide compressible en régime barotropique dans un domaine tridimensionnel borné et avec des conditions de glissement au bord. En considérant une loi de pression de la forme p=p(ϱ), où p a une croissance de la forme ϱγ à lʼinfini, on montre lʼexistence de solutions renormalisées faibles pour γ>1. On améliore ainsi le récent résultat de Frehse et al. (2012) [9], qui nécessitait γ>4/3, ce qui nous permet de traiter de multiples cas de gaz polyatomiques ou de gaz relativistes pour lequel γ=4/3. Ce résultat est obtenu grâce à une procédure de bootstrapping mise en place par Jiang et Zhou (2011) [13] pour estimer la densité, mais aussi grâce au test de lʼéquation de la quantité de mouvement par une fonction test particulière qui nous donnera une estimation de type potentiel valable jusquʼà la frontière.