On behaviour of free-surface profiles for bounded steady water waves

The paper deals with the classical non-linear problem of steady two-dimensional waves on water of finite depth. The problem is formulated so that it describes all waves without stagnation points on the free-surface profiles that are bounded themselves and have bounded slopes. By virtue of reducing the problem to an integro-differential equation the following three results are proved. First, there are no waves when the flow is critical. Second, there are no waves having profiles totally above the upper boundary of the uniform subcritical stream. Finally, only two types of the free-surface behaviour are possible at positive (or/and negative) infinity: the profile either oscillates infinitely many times around the upper boundary of the subcritical uniform stream or asymptotes the upper level of a uniform stream (subcritical or supercritical). The latter assertion is proved under additional assumption that the slope of the free surface is a uniformly continuous function.

RésuméNous étudions le problème bidimensionnel, non linéaire d'ondes permanentes à la surface libre d'eaux d'une profondeur finie. Notre formulation du problème englobe toutes les ondes dont la surface libre satisfait deux conditions : leurs profils et leurs pentes sont bornés ; il n'existe pas de points de stagnation sur leurs profils. Pour le problème rédiut à une équation integro-differentielle, nous démontrerons trois résultats : Premièrement, il n'existe pas d'ondes dans le cas critique. Deuxièmement, il n'existe pas d'ondes quand des profils de la surface libre sont au-dessus de la frontière supérieure du courant uniformément, souscritique. Finalement, nous décrivons les deux types du comportement de la surface libre à l'infini (positif ou negatif ou bien les deux). Le profil ou bien oscille indéfiniment au voisinage de la frontière supérieure du courant souscritique ou bien tend vers la frontière supérieure du courant uniformément (souscritique ou surcritique). Cette dernière proposition est démontrée sous l'hypothèse supplémentaire que la pente de la surface libre est une fonction uniformément continue.