Quasiconvex functions incorporating volumetric constraints are rank-one convex

We prove that a quasiconvex function which is finite on the set is rank-one convex, and hence continuous, on Σ; and the same for constraints on minors. This implies that the rank-one convex envelope gives an upper bound on the quasiconvex envelope of any energy density modeling an incompressible material. Our result is based on the construction of an appropriate piecewise affine function u such that ∇u∈Σ almost everywhere.

RésuméNous montrons qu'une fonction quasiconvexe , qui est finie sur l'ensemble , est rang-1 convexe, et par conséquent continue, sur Σ, de même avec des contraintes sur des mineurs. Ceci implique que l'enveloppe rang-1 convexe donne une borne supérieure de l'enveloppe quasiconvexe pour toute densité d'énergie d'un matériau incompressible. Notre résultat utilise la construction d'une fonction u affine par morceaux telle que ∇u∈Σ presque partout.