Lipschitz-continuous local isometric immersions: rigid maps and origami

A rigid map is a Lipschitz-continuous map with the property that at every x∈Ω where u is differentiable then its gradient Du(x) is an orthogonal m×n matrix. If Ω is convex, then u is globally a short map, in the sense that |u(x)−u(y)|⩽|x−y| for every x,y∈Ω; while locally, around any point of continuity of the gradient, u is an isometry. Our motivation to introduce Lipschitz-continuous local isometric immersions (versus maps of class C1) is based on the possibility of solving Dirichlet problems; i.e., we can impose boundary conditions. We also propose an approach to the analytical theory of origami, the ancient Japanese art of paper folding. An origami is a piecewise C1 rigid map (plus a condition which exclude self intersections). If u(Ω)⊂R2 we say that u is a flat origami. In this case (and in general when m=n) we are able to describe the singular set Σu of the gradient Du of a piecewise C1 rigid map: it turns out to be the boundary of the union of convex disjoint polyhedra, and some facet and edge conditions (Kawasaki condition) are satisfied. We show that these necessary conditions are also sufficient to recover a given singular set; i.e., we prove that every polyhedral set Σ which satisfies the Kawasaki condition is in fact the singular set Σu of a map u, which is uniquely determined once we fix the value u(x0)∈Rn and the gradient Du(x0)∈O(n) at a single point x0∈Ω∖Σ. We use this characterization to solve a class of Dirichlet problems associated to some partial differential systems of implicit type.

RésuméUne application est dite rigide si elle est lipschitzienne et si pour tout x∈Ω où u est différentiable, son gradient Du(x) est une matrice m×n orthogonale. Une telle application u est une contraction dans Ω, c'est-à-dire que |u(x)−u(y)|⩽|x−y| pour tous x,y∈Ω ; alors que localement, au voisinage d'un point où le gradient est continu, u est une isométrie. La nécessité de considérer des immersions localement isométriques lipschitziennes (au lieu d'applications de classe C1) vient du fait que nous voulons résoudre un problème de Dirichlet. Cette formulation permet, de plus, une approche analytique de la théorie des origamis, l'ancien art japonais du pliage d'une feuille de papier. Un origami est alors vu comme une application rigide et C1 par morceaux (auquel il faut ajouter une condition d'injectivité). Si u(Ω)⊂R2, nous dirons que u est un origami plat. Dans ce cas (ou plus généralement quand m=n) nous montrerons que l'ensemble Σu, où le gradient Du de l'application rigide C1 par morceaux est discontinu, est le bord d'une union de polyèdres convexes disjoints pour lesquelles les faces et arrêtes satisfont une certaine condition appelée condition de Kawasaki. Nous montrons, par ailleurs, que cette condition nécessaire est aussi suffisante pour recouvrer une application rigide, étant donné un ensemble singulier ; plus précisément on démontre que tout ensemble polyédral Σ qui satisfait la condition de Kawasaki est en fait l'ensemble singulier Σu d'une application rigide u, qui est déterminée uniquement une fois fixés la valeur de l'application u(x0)∈Rn et de son gradient Du(x0)∈O(n) en un seul point x0∈Ω∖Σ. Nous utilisons cette caractérisation pour résoudre certains problèmes de Dirichlet associés à des systèmes d'équations aux dérivées partielles de type implicite.