Sub-Lorentzian geometry on anti-de Sitter space

Sub-Riemannian Geometry is proved to play an important role in many applications, e.g., Mathematical Physics and Control Theory. Sub-Riemannian Geometry enjoys major differences from the Riemannian being a generalization of the latter at the same time, e.g., geodesics are not unique and may be singular, the Hausdorff dimension is larger than the manifold topological dimension. There exists a large amount of literature developing sub-Riemannian Geometry. However, very few is known about its extension to pseudo-Riemannian analogues. It is natural to begin such a study with some low-dimensional manifolds. Based on ideas from sub-Riemannian geometry we develop sub-Lorentzian geometry over the classical 3-D anti-de Sitter space. Two different distributions of the tangent bundle of anti-de Sitter space yield two different geometries: sub-Lorentzian and sub-Riemannian. We use Lagrangian and Hamiltonian formalisms for both sub-Lorentzian and sub-Riemannian geometries to find geodesics.

RésuméIl a été prouvé que la géométrie sous-riemannienne joue un rôle important dans des nombreuses applications, par exemple en physique mathématique et en théorie du contrôle. La géométrie sous-riemannienne diffère considérablement de la géométrie riemannienne, étant en même temps une généralisation de celle-ci, par exemple, les géodésiques ne sont pas uniques et peuvent être singulières, la dimension de Hausdorff est plus grande que la dimension topologique de variété. On peut trouver une littérature abondante qui développe la géométrie sous-riemannienne. Cependant, on connaît très peu de choses sur son extension naturelle aux analogues pseudo-riemanniens. Il est naturel de commencer une telle étude avec des variétés de petite dimension. En utilisant les idées de la géométrie sous-riemannienne, on développe la géométrie sous-lorentzienne sur l'espace anti-de Sitter classique. Deux distributions différentes du faisceau tangent de l'espace d'anti-de Sitter donnent deux géométries différentes : sous-lorentzienne et sous-riemannienne. Pour trouver les géodésiques on utilise également les formalismes de Lagrange et de Hamilton pour les deux géométries, sous-lorentzienne et sous-riemanniene.