Orbits of operators commuting with the Volterra operator

Asymptotic estimates of the norms of orbits of certain operators that commute with the classical Volterra operator V acting on Lp[0,1], with 1⩽p⩽∞, are obtained. The results apply not only to the Riemann–Liouville operator Vr and to I+Vr with r>0, but also to operators of the form ϕ(V), where ϕ is a holomorphic function at zero. The method to obtain the estimates is based on the fact that the Riemann–Liouville operator as well as the Volterra operator can be related to the Levin–Pfluger theory of holomorphic functions of completely regular growth. Different methods, such as the Denjoy–Carleman theorem, are needed to analyze the behavior of the orbits of I−cV, where c>0. The results are applied to the study of cyclic properties of ϕ(V), where ϕ is a holomorphic function at 0.

RésuméDans cet article on obtient des estimations asymptotiques de la norme de certains opérateurs qui commutent avec l'opérateur classique de Volterra V définis sur l'espace Lp[0,1], avec 1⩽p⩽∞. Les résultats établis ici restent valables non seulement pour l'opérateur de Riemann–Liouville Vr et I+Vr avec r>0, maisole plus pour les opérateurs de la forme ϕ(V), où ϕ est une fonction holomorphe en zéro. La méthode d'obtention de ces estimations repose sur le fait que l'opérateur de Riemann–Liouville, de même que l'opérateur de Volterra, peut être relié á la théorie de Levin–Pfluger sur les fonctions holomorphes à croissance complètement régulière. On utilise différentes techniques, comme le théorème de Denjoy–Carleman, pour analyser le comportement des orbites de I−cV, avec c>0. On applique ces résultats à l'étude des propriétés cycliques de l'opérateur ϕ(V), ϕ étant une fonction holomorphe à l'origine.