Minimizers of the variable exponent, non-uniformly convex Dirichlet energy

We study energy minimizing properties of the function u=limλj→1+uλj, where uλj is the solution to the pλj(⋅)-Laplacian Dirichlet problem with prescribed boundary values. Here is a variable exponent and pλj(x)=max{p(x),λj} for λj>1. This problem leads in a natural way to a mixture of Sobolev and total variation norms. The main results are obtained under the assumption that p is strongly log-Hölder continuous and bounded. To motivate our approach we also consider the one-dimensional case and give examples which justify our assumptions. The results can be applied in the analysis of a model for image restoration combining total variation and isotropic smoothing.

RésuméNous étudions des propriétés de la fonction u=limλj→1+uλj, où uλj est la solution du pλj(⋅)-laplacien problème aux limites de Dirichlet. Ici, est un exposant variable et pλj(x)=max{p(x),λj}, quand λj>1. Ces conditions conduisent naturellement à une norme combinée de la variation totale et de la norme de Sobolev. Nos principaux résultats sont obtenus sous l'hypothèse que l'exposant est fortement hölderien et borné. Afin de justifier les hypothèses nous examinons aussi le cas unidimensionnel. Les résultats peuvent être appliqués à l'analyse d'une méthode de restauration d'image, qui combine un lissage basé sur la variation totale et un lissage isotropique.