Relaxation of an optimal design problem for the heat equation

We consider the heat equation in (0,T)×Ω, Ω⊂RN, N⩾1, and address the nonlinear optimal design problem which consists in finding the distribution in Ω of two given isotropic materials which minimizes a suitable cost functional depending on the heat flux. Both the case of a time-independent design and of the time-dependent one are analyzed. Well-posed relaxations of the two problems are obtained by using two well-known approaches: the homogenization method and the classical tools of non-convex, vector, variational problems. We also implement several numerical experiments based on these relaxed formulations to support the theoretical results. Finally, we point out some differences and analogies of the two proposed methods.

RésuméDans le cadre de l'équation de la chaleur posée sur le cylindre borné (0,T)×Ω, Ω⊂RN, N⩾1, on considère le problème non linéaire de la distribution optimale de deux matériaux isotropes minimisant le flux de chaleur dans Ω. Les cas d'une distribution indépendante et dépendante du temps sont traités simultanément. Des formulations relaxées bien posées dans les deux cas sont obtenues en utilisant d'une part la méthode de l'homogénéisation et d'autre part une approche variationnelle utilisant la mesure de Young. Enfin, plusieurs expériences numériques justifient les procédures de relaxation et permettent de confirmer les résultats théoriques.