The 3D Primitive Equations in the absence of viscosity: Boundary conditions and well-posedness in the linearized case

In this article we consider the 3D Primitive Equations (PEs) of the ocean, without viscosity and linearized around a stratified flow. As recalled in the Introduction, the PEs without viscosity ought to be supplemented with boundary conditions of a totally new type which must be nonlocal. In this article a set of boundary conditions is proposed for which we show that the linearized PEs are well-posed. The proposed boundary conditions are based on a suitable spectral decomposition of the unknown functions. Noteworthy is the rich structure of the Primitive Equations without viscosity. Our study is based on a modal decomposition in the vertical direction; in this decomposition, the first mode is essentially a (linearized) Euler flow, then a few modes correspond to a stationary problem partly elliptic and partly hyperbolic; finally all the other modes correspond to a stationary problem fully hyperbolic.

RésuméDans cet article, nous considérons les équations primitives (EP) tridimensionnelles de l'océan, sans viscosité, linéarisées autour d'un écoulement stratifié. Comme nous le rappelons dans l'introduction, les conditions aux limites qui accompagnent les EP sans viscosité doivent être d'un type totalement nouveau ; plus précisément, elles doivent nécessairement être non locales. Ici, nous proposons un jeu de conditions aux limites qui rendent les EP linéarisées bien posées. Elles s'appuient sur une décomposition spectrale adaptée des inconnues, et prennent en compte la structure très particulière des équations primitives sans viscosité. Notre étude est fondée sur une décomposition modale dans la direction verticale ; dans cette décomposition, le premier mode se comporte quasiment comme un écoulement d'Euler (linéarisé). Quelques-uns des modes supérieurs correspondent à un problème stationnaire à la fois elliptique et hyperbolique. Enfin, tous les autres modes sont régis par un problème stationnaire purement hyperbolique.